[Sidenote: E estas figuras são sempre entre si, como os quadrados dos seus lados homologos.]

[Sidenote: EST. VII.]

Com razões semelhantes se verá, que as proposições explicadas nos Artigos XLIV., e XLVII. da primeira Parte, onde se demonstrou que as áreas dos triangulos, e das figuras semelhantes tem entre si a mesma proporção, que tem os quadrados dos seus lados homologos, são sempre em geral verdadeiras, ainda quando os lados destas figuras são incommensuraveis.

Tomemos por exemplo os triangulos semelhantes ABC, _a b c_, dos quaes supporemos as alturas incommensuraveis com as suas bases; neste caso não haverá quadrado algum, por pequeno que seja, que possa servir de medida commua a estes triangulos, e aos quadrados feitos sobre as suas bases; isto he, as áreas _a b c_, e _a b d e_ serão entre si incommensuraveis, como tambem as áreas ABC, e ABDE; porém não será menos certo, que o triangulo ABC será para o quadrado ABDE, como o triangulo _a b c_ para o quadrado _a b d e_.

[Sidenote: EST. VII.]

Do que nos certificaremos, observando que quanto mais se suppuzerem ser pequenas as partes do petipé, de que nos servirmos para medir AB, e CK, tanto mais nos approximaremos a ter os numeros, que exprimiráõ a proporção de ABC para ABDE. Logo dividindo sempre o petipé do triangulo _a b c_ no mesmo numero de partes, e abandonando os restos, se verá que os mesmos numeros serviráõ sempre para exprimir a razão do triangulo ABC para o quadrado ABDE, e a do triangulo _a b c_ para o quadrado _a b d e_. Imaginemos que a divisão dos petipés seja infinita, e ver-se-ha que os restos viráõ a ser absolutamente nada; e poder-se-ha dizer, que os numeros, que exprimirem a razão do triangulo _a b c_ para o quadrado _a b d e_, exprimiráõ tambem a razão do triangulo ABC para o quadrado ABDE; e que da mesma sorte o triangulos _a b c_ será para o quadrado _a b d e_, como o triangulo ABC para o quadrado ABDE.

O mesmo será de todas as mais figuras semelhantes.

FIM DA PARTE SEGUNDA.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA.

PARTE TERCEIRA.

_Da medição das Figuras circulares, e das suas propriedades._

Depois de se ter chegado a medir toda a sorte de figuras rectilineas, se quiz tambem ter o modo de determinar aquellas, que se limitam em linhas curvas. Os terrenos, e em geral os espaços, que se intentam medir, não são sempre terminados por linhas rectas.

[Sidenote: EST. VIII.]

Muitas vezes as figuras curvilineas, e as figuras mixtilineas, isto he, aquellas, que são terminadas por linhas rectas, e por linhas curvas, se podem reduzir a figuras inteiramente rectilineas, como já dissemos; porque havendo para se medir huma figura tal, como ABCDEFG, (Estampa VIII. Fig. 1.) se poderia tomar o lado AD por hum ajuntamento de duas, tres, &c. linhas rectas; e substituindo depois a recta FD á curva FDE, se teria a figura rectilinea ABCDEFG, a qual differiria tão pouco da figura mixtilinea, que se poderia tomar huma por outra sem erro sensivel.

[Sidenote: EST. VIII.]

Operar-se-hia pois sobre estas figuras, segundo os methodos precedentes. Mas os Geometras de nenhuma maneira se accommodariam com esta sorte de operações: elles querem sómente as que são rigorosas. Demais, ha taes casos, em que a transformação de huma figura curvilinea, ou mixtilinea, em huma figura inteiramente rectilinea, demandaria que se repartisse o seu contorno em tão grande numero de partes, que então o methodo commum sería impraticavel; e ninguem se tentaria a seguillo, tendo para medir hum espaço tal como Z, (Fig. 7.) ou o circulo inteiro X; (Fig. 3.) sería preciso seguir outro methodo para se achar a medida de taes espaços. Aqui sómente trataremos daquelles, que tem os seus contornos terminados por arcos de circulo.