[Sidenote: EST. VII.]

Tornemos ao que se disse no Artigo XXXIX. da primeira Parte, e vejamos se he exactamente verdade que os triangulos taes como _a b c_ (Fig. 11. e 12.) ABC, cujos angulos são os mesmos, tenham os seus lados proporcionaes. Supponhamos, por exemplo, que a base do primeiro seja _a b_, e a do segundo huma recta AB, igual á diagonal de hum quadrado, que tenha por lado _a b_, e nesta supposição investiguemos se a proporção de AC para _a c_ será como a de AB para _a b_.

[Sidenote: EST. VII.]

Ainda que, segundo o que temos visto, por maior que fosse o numero de partes, que arbitrariamente se suppuzessem em _a b_, AB, já mais poderia comprehender hum numero certo destas partes; he não obstante facil de perceber, que quanto este numero for maior, mais AB se approximará a ser medido exactamente pelas partes de _a b_. Supponhamos _a b_ dividido em 100 partes; o que AB comprehenderá destas partes, se achará entre 141, e 142. (Artigo XXIII.) Contentemonos das 141, e deixemos o pequeno resto. Claro está (Parte I. Artigo XXXIX.) que AC conterá tambem 141 das partes de _a c_.

Supponhamos depois _a b_ repartido em 1000 partes, o que AB conterá das partes de _a b_, será entre 1414, e 1415: tomamos sómente as 1414, e deixemos tambem o resto; achar-se-ha da mesma sorte que AC conterá 1414 das millesimas partes de _a c_; e que em geral AC conterá sempre tantas partes de _a c_ com hum resto, como AB conterá das partes de _a b_ com hum resto.

[Sidenote: EST. VII.]

Demais, estes restos, como temos observado, serão de huma, e outra parte tanto mais pequenos, quanto o numero das partes de _a b_ for maior. Logo será permittido de os abandonar, imaginando-se a divisão de _a b_ levada até o infinito; e poder-se-ha então dizer, que o numero de partes de _a c_, que AC comprehender igualará o numero de partes de _a b_, que AB contiver; e que assim AC será para _a c_, como AB para _a b_.

[Sidenote: Os triangulos, e as figuras semelhantes tem os seus lados proporcionaes, ainda quando estes lados são incommensuraveis.]

Temos pois rigorosamente demonstrado, que quando dous triangulos tem os mesmos angulos, elles tem os seus lados proporcionaes, seja que os seus lados tenham huma medida commua, ou que a não tenham.

A proposição (Part. I. Art. XLV.) donde se tira a proporcionalidade das linhas, que correspondem humas ás outras nas figuras semelhantes, da mesma sorte se justificaria.