[Sidenote: As áreas dos triangulos semelhantes são entre si, como os quadrados dos seus lados homologos.]

O que acabamos de dizer sobre a medida dos triangulos semelhantes, serve de prova a huma proposição, que nos Elementos de Geometria se exprime ordinariamente desta sorte. Os triangulos semelhantes ABC, _a b c_ são entre si como os quadrados ABDE, _a b d e_ dos seus lados homologos, ou correspondentes AB, _a b_.

[Sidenote: EST. IV.]

A demonstração, que o Artigo precedente contém, traz absolutamente esta consequencia; porque o quadrado ABDE, contendo tanto de X, como _a b d e_ contém de _x_, he evidente que os dous numeros de quadrados X, que exprimem a relação do triangulo ABC, para o quadrado ABDE, são os mesmos, que os numeros de quadrados _x_, que dam a relação do triangulo _a b c_ para o quadrado _a b d e_; ou, o que vem a ser o mesmo, que o triangulo ABC he para o quadrado ABDE, como o triangulo _a b c_ para o quadrado _a b d e_.

Disto se segue, que se, por exemplo, o lado AB fosse duplo do lado _a b_, o triangulo ABC seria quadruplo do triangulo _a c b_; que se AB fosse triplo de _a b_, o triangulo ACB seria nove vezes maior do que o triangulo _a c b_, &c.; porque AB não póde ser duplo de _a b_, sem que o quadrado ABDE seja quadruplo de _a b d e_, &c.