[Sidenote: Dous triangulos, cujos angulos são respectivamẽte iguaes, tem os seus lados proporcionaes.]

Agora mostremos que os lados, que se correspondem em dous triangulos _a c b_, e ACB, que tem os mesmos angulos, são proporcionaes.

[Sidenote: EST. IV.]

Para nos certificarmos disto, supponhamos que _a b_ seja a metade de AB, será preciso que provemos que _a c_ será tambem a metade de AC, e _b c_ a metade de BC. Que _a c b_, como no Artigo precedente, tenha tambem a posição de A _c b_: se se tirar _c g_ parallela a AB, claro está que esta linha igualará _b_ B, ou A _b_; e que _g_ B igualará tambem _c b_. Ora como os angulos _c g_ C, e C _c g_ serão manifestamente iguaes aos angulos _c b_ A, e _c_ A _b_, o triangulo C _c g_ igualará o triangulo _c_ A _b_. (Artigo XXX.) Logo C _c_ será igual a A _c_, e C _g_ igual a _c b_, ou a _g_ B. Logo A _c_, ou _a c_ será a metade de AC, e _c b_ a metade de CB.

[Sidenote: EST. IV.]

Se _ab_ (Fig. 3. e 5.) estivesse comprehendido tres, quatro, ou qualquer outro numero de vezes, que se quizesse, em AB, seria igualmente facil de demonstrar, que _a c_ seria comprehendido o mesmo numero de vezes em AC, e _c b_ em CB. Porque dos pontos de divisão _b_, _f_ da base AB, tirando _b c_, _f h_, &c. parallelas a BC, se poderiam pôr pelo comprimento de AC tres, quatro, &c. triangulos A _c b_, _c h g_, _h_ C _i_, &c. iguaes ao triangulo _a c b_.

Mas ainda que _a b_ em lugar de ser comprehendido exactamente hum numero certo de vezes em AB, (Fig. 3. e 6.) o fosse com algum quebrado, por exemplo, duas vezes e meia, provar-se-hia que _a c_ caberia tambem duas vezes e meia em AC, e _b c_ duas vezes e meia em BC.

[Sidenote: EST. IV.]

Porque quando por meio das parallelas _b c_, (Fig. 6.) _f h_ se tivesse posto pelo comprimento de AC, os dous triangulos A _c b_, _c h g_, iguaes a _a c b_, ficaria lugar entre as duas parallelas _h f_, e CB, para se pôr hum triangulo C _h i_, cujos lados seriam metades dos lados de _c_ A _b_; o que he evidente, pois que pela supposição, _f_ B seria a metade de A_b_, e que a base _h i_ do triangulo C _h i_ igualará _f_ B, por causa das parallelas _h f_, CB: logo, em geral, quando dous triangulos ABC, _a b c_ tem os mesmos angulos, estes triangulos chamados triangulos semelhantes, tem os seus lados proporcionaes; ou, que he absolutamente o mesmo, os lados AB, BC, AC, de hum destes triangulos, ABC contém o mesmo numero de partes P, como os lados _a b_, _b c_, _a c_, do outro triangulo _a b c_, contém de partes _p_. P, sendo o palmo, a braça, &c. ou em geral o petipé, com o qual ABC foi construido; e _p_ aquelle, com que se construio _a b c_.