Vejamos pois se poderiamos mudar deste modo os nossos pequenos rectangulos. Supponhamos, por simplificar o problema, que os nossos rectangulos em lugar de terem por bases linhas iguaes ás circumferencias KL, (Fig. 1. e 2.) não tenham por bases senão os radios KI das mesmas circumferencias. Depois não nos será difficil de applicar aos rectangulos verdadeiros, o que tivermos achado nestes ultimos rectangulos suppostos.

[Sidenote: EST. XIV.]

Logo he necessario achar hum rectangulo, que tenha por medida o producto de M _m_ por KI, mas que tenha por altura huma linha incomparavelmente maior do que M _m_, e que seja a mesma em qualquer parte que esteja este pequeno lado M _m_. Façamos escolha, por exemplo, da recta CK, que he o apothema do polygono de que M _m_ he lado, e por consequencia he sempre a mesma a qualquer lado do polygono a que ella pertença. Devemos pois procurar huma linha, cujo producto por CK seja igual ao producto de KI por M _m_; isto he, (Part. II. Art. VII.) que he necessario achar a quarta proporcional ás tres linhas KC, KI, M _m_. Ora nós sabemos que por meio dos triangulos semelhantes he que se acham as linhas proporcionaes nas figuras; he pois necessario formar triangulos semelhantes, cujos lados homologos sejam as linhas de que se trata; o que se fará, abaixando MR, perpendicular a _m p_. Então teremos os triangulos M _m_ R, KIC, que serão semelhantes; porque cada hum delles será rectangulo, hum em R, e o outro em I; e demais, elles terão os angulos _m_ MR, IKC iguaes entre si, porque o primeiro juntamente com o angulo M _m_ R, igual ao angulo MKI, faz hum angulo recto; e o segundo IKC faz tambem hum angulo recto juntamente com MKI.

[Sidenote: EST. XIV.]

Do que facilmente se póde concluir, que KC he para KI, como M _m_ he para MR; isto he, que MR he a quarta proporcional procurada; ou, que vem a ser o mesmo, que o rectangulo de KC por MR, ou por P _p_, he igual ao rectangulo de M _m_ por KI.

[Sidenote: EST. XIV.]

Porém como o rectangulo, que pertendiamos mudar, não he aquelle de M_m_ por KI, mas sim o de M _m_ pela circumferencia, da qual he radio KI, aqui nos lembraremos que as circumferencias são entre si, como o são os seus radios; e que por consequencia, sendo iguaes os rectangulos de M _m_ por KI, e o de P _p_ por CK, o devem ser tambem os rectangulos de M _m_ pela circumferencia de KI, e o de P _p_ pela circumferencia de CK; porque facilmente se vê, que se dous rectangulos são iguaes, e conservando-lhes as suas alturas se lhes augmentam proporcionalmente as suas bases, estes rectangulos ficaráõ sempre iguaes.