[Sidenote: As esferas são entre si, como os cubos dos radios dellas.]

Os solidos das esferas, por exemplo, são evidentemente entre si, como os cubos dos radios dellas.

FIM.

INDICE DAS MATERIAS.

PARTE PRIMEIRA

Dos meios, de que era mais natural se usasse, para se chegar á medição dos Terrenos.

II. _A Linha recta he a mais curta que ha de hum ponto a outro, e por consequencia he a medida da distancia entre dous pontos._ Pag. 2.

III. _Huma linha, que cahe sobre outra, sem pender sobre ella para alguma parte, he perpendicular a esta linha._ 3.

IV. _O rectangulo he huma figura de quatro lados perpendiculares huns aos outros._ 4.

_O quadrado he hum rectangulo, que tem os quatro lados iguaes._ Ibid.

V. _Modo de levantar huma perpendicular._ 5.

VI. _O circulo he o traço inteiro, que descreve a ponta movel de hum compasso, gyrando á roda da outra ponta._ 7.

_O centro he o lugar da ponta fixa._ Ibid.

_O radio he o intervallo das pontas do compasso._ Ibid.

_O diametro he o dobro do radio._ Ibid.

VII. _Modo de abaixar huma perpendicular._ 8.

VIII. _Cortar huma linha em duas partes iguaes._ 9.

IX. _Construir hum quadrado sobre hum lado dado._ Ibid.

X. _Fazer hum rectangulo, do qual sejam dados o comprimento, e a largura._ 10.

XI. _As parallelas são linhas sempre igualmente distantes humas das outras._ Ibid. _Tirar huma parallela a huma linha por hum ponto dado._ 11.

XII. _A medida de hum rectangulo he o producto de sua base pela sua altura._ 13.

XIII. _Figuras rectilineas são aquellas, que se terminam em linhas rectas._ 14.

_O triangulo he huma figura terminada por tres linhas rectas._ 15.

XIV. _A diagonal de hum rectangulo he a linha, que o reparte em dous triangulos iguaes._ 16.

_Triangulos rectangulos são aquelles, que tem dous dos seus lados perpendiculares hum ao outro._ Ibid.

_Hum triangulo he a metade de hum rectangulo, que tem a mesma base, e a mesma altura._ 17.

_Logo a sua medida he a metade do producto da sua altura pela sua base._ Ibid.

XV. _Os triangulos, que tem a mesma altura, e a mesma base, tem superficies iguaes._ 18.

_XVII. Os triangulos, que tem a mesma base, e estam entre as mesmas parallelas, são iguaes em superficie._ 20.

XVIII. _Os parallelogramos são figuras de quatro lados, da qual os dous oppostos são parallelos._ 21.

_Medem-se, multiplicando o producto da sua base pela sua altura._ Ibid.

XIX. _Os parallelogramos, que tem huma base commua, e que estam entre as mesmas parallelas, são iguaes em superficie._ Ibid.

XX. _Os polygonos regulares são figuras terminadas por lados iguaes, e igualmente inclinados huns sobre os outros._ 22.

XXI. _Maneira de descrever hum polygono, de hum numero determinado de lados._ 23.

_O pentagono tem sinco lados, o hexagono seis, o heptagono sete, o octogono oito, o eneagono nove, o decagono dez, &c._ Ibid.

XXII. _Medida da superficie de hum polygono regular._ 24.

_O apothêma he a perpendicular abaixada do centro da figura sobre hum dos seus lados._ Ibid.

XXIII. _Triangulo equilatero he aquelle, que tem os tres lados iguaes._ 25.

_Modo de descrever o triangulo equilatero._ Ibid.

XXVI. _Tendo-se reconhecido os tres lados de hum triangulo, fazer outro, que lhe seja igual._ 28.

XXVII. _Hum angulo he a inclinação de huma linha sobre outra._ 30.

XXVIII. _Modo de fazer hum angulo igual a outro._ Ibid.

_Dados dous lados, e o angulo comprehendido, está o triangulo determinado._ 31.

XXIX. _Segunda maneira de fazer hum angulo igual a outro._ 32.

_A corda de hum arco de circulo he a recta, que se termina nas duas extremidades do arco._ Ibid.

XXX. _Dous angulos, e hum lado determinam o triangulo._ 33.

XXXI. _Triangulo isosceles he aquelle, que tem dous lados iguaes._ 34.

_Os angulos, que estes lados fazem com a base, são entre si iguaes._ Ibid.

XXXIV. _Em que consiste a semelhança de duas figuras._ 38.

XXXVI. _Modo de fazer huma figura semelhante a outra._ 39.

XXXVIII. _Se dous angulos de hum triangulo são iguaes a outros dous de outro triangulo, o terceiro angulo de hum igualará o terceiro angulo do outro._ 42.

XXXIX. _Dous triangulos, cujos angulos são respectivamente iguaes, tem os seus lados proporcionaes._ 43.

XL. _Dividir huma linha em quantas partes iguaes se quizer._ 46.

XLI. _Que cousa seja a quarta linha proporcional a outras tres, e como se acha._ 47.

XLII. _As alturas dos triangulos semelhantes são proporcionaes aos seus lados._ 48.

XLIV. _As áreas dos triangulos semelhantes são entre si, como os quadrados dos seus lados homologos._ 50.

XLV. _Propriedades das figuras semelhantes tiradas das dos triangulos._ 51.

XLVII. _As áreas das figuras semelhantes são entre si, como os quadrados dos seus lados homologos._ 54.

XLVIII. _As figuras semelhantes não são differençadas, senão pelos petipés, por onde ellas são construidas._ 55.

L. _Maneira de medir a distancia de hum lugar inaccessivel._ 57.

LII. _Hum angulo tem por medida o arco de circulo, que entre si comprehendem os seus lados._ 59.

LIII. _O circulo he dividido em 360 gráos, cada gráo em 60 minutos, cada minuto em 60 segundos, &c._ 60.

_LIV. O angulo recto tem 90 gráos, e os seus lados são perpendiculares hum ao outro._ Ibid.

LV. _Hum angulo agudo he mais pequeno do que hum recto._ 61.

LVI. _Hum angulo obtuso he maior do que hum recto._ 60.

LVII. _A somma dos angulos feitos da mesma parte sobre huma linha recta, e que tem o mesmo vertice, vale 180 gráos._ Ibid.

LVIII. _Todos os angulos, que se podem fazer á roda de hum mesmo ponto, são, tomando-os a todos juntos, iguaes a quatro angulos rectos._ 62.

LIX. _Uso do instrumento chamado Semicirculo dimensorio, para se tomar a grandeza de hum angulo._ Ibid.

LX. _Uso do Transferidor para fazer hum angulo de hum numero determinado de partes._ 63.

LXIII. _Angulos alternos são os angulos tomados ás avéssas, que huma linha recta fórma de huma, e outra parte, cahindo sobre duas parallelas._ 67.

_Estes angulos são iguaes._ 68.

LXIV. _A somma dos tres angulos de hum triangulo he igual a dous angulos rectos._ 69.

LXVIII. _O angulo exterior de hum triangulo vale os dous angulos interiores oppostos._ 70.

LXIX. _Hum angulo de hum triangulo isosceles dá os outros dous._ 71.

LXX. _Os angulos de hum triangulo equilatero, são cada hum de 60 gráos._ Ibid.

LXXI. _Descripção do exagono._ 72.

LXXII. _A ametade do angulo no centro do exagono nos dá o angulo no centro do dodecagono._ 73.

LXXIII. _Repartir hum angulo em dous igualmente._ 74.

LXXIV. _Descripção dos polygonos de 24, 48, &c. lados._ Ibid.

LXXV. _Descripção do octogono._ 75.

_E dos polygonos de 16, 32, &c. lados._ 76.

PARTE SEGUNDA

Do methodo geometrico de comparar as Figuras rectilineas.

I. _Dous rectangulos, que tem a mesma altura, estam na mesma razão das suas bases._ Pag. 79.

V. _Maneira de reduzir hum rectangulo a outro, que tenha huma altura dada._ 81.

VI. _Segunda maneira de reduzir hum rectangulo a outro, cuja altura seja dada._ 82.

VII. _Demonstra-se rigorosamente, que se dous rectangulos são iguaes, a base do primeiro he para a base do segundo, como a altura do segundo para a altura do primeiro._ 84.

VIII. _Se quatro linhas forem taes, que a primeira seja para a segunda, como a terceira para a quarta, o rectangulo formado pela primeira, e pela quarta será igual ao que foram a segunda, e a terceira._ 85.

IX. _Quatro quantidades, das quaes a primeira he para a segunda, como a terceira para a quarta, se diz que estão em proporção, ou que formam huma proporção._ 85.

X. _Dos quatro termos de huma proporção, o primeiro, e o quarto se chamam termos extremos, e medios o segundo, e o terceiro._ 86.

XI. _Em huma proporção, o producto dos extremos he igual ao producto dos medios._ Ibid.

XII. _Se o producto dos extremos he igual ao producto dos medios, os quatro termos formam huma proporção._ 87.

XIII. _Disto se tira a regra de tres._ Ibid.

_Ou a maneira de achar o quarto termo de huma proporção, da qual sejam dados os tres primeiros._ 88.

XVI. _Fazer hum quadrado duplo de outro._ 91.

XVII. _Fazer hum quadrado igual a outros dous desiguaes._ 92.

XVIII. _O lado maior de hum triangulo rectangulo se chama hypothenusa; e o quadrado feito por este lado maior, he igual á somma dos quadrados feitos pelos outros dous lados._ 95.

XIX. _De donde se tira hum modo simples de reduzir dous quadrados a hum sómente._ Ibid.

XX. _Se os lados de hum triangulo rectangulo servirem de bases a tres figuras semelhantes, a figura, que se fizer sobre a hypothenusa, será igual ás outras duas._ 96.

XXI. _Reduzir varias figuras semelhantes a huma sómente._ 97.

XXIII. _O producto, que resulta da multiplicação de hum numero por si mesmo, he o quadrado deste numero._ 100.

_A raiz de hum quadrado he o numero, que multiplicado por si mesmo, dá o quadrado._ Ibid.

XXIV. _Hum numero he multiplice de outro, quando elle o contém varias vezes exactamente._ 101.

_O lado de hum quadrado, e a sua diagonal são incommensuraveis._ 102.

XXV. _Outras linhas incommensuraveis._ Ibid.

XXVII. _Os triangulos, e as figuras semelhantes tem os seus lados proporcionaes, ainda quando estes lados são incommensuraveis._ 106.

XXVIII. _Estas figuras são sempre entre si, como os quadrados dos seus lados homologos._ Ibid.

PARTE TERCEIRA

Da medição das Figuras circulares, e das suas propriedades.

I. _A Medida do circulo he o producto da sua circumferencia por a metade do seu radio._ 112.

II. _A área do circulo he igual a hum triangulo, que tem por altura o radio, e por base huma recta igual á circumferencia._ Ibid.

IV. _Tenda o diametro 7 partes, a circumferencia tem perto de 22._ 113.

V. _As circumferencia dos circulos são entre si, como os seus radios._ 114.

VI. _As áreas dos circulos são proporcionaes aos quadrados dos seus radios._ 115.

VII. _De tres circulos, a que servirem de radios os tres lados de hum triangulo rectangulo, aquelle de que for radio a hypothenusa, valerá tanto, como os outros dous._ 116.

VIII. _Huma coroa he o espaço comprehendido entre dous circulos concentricos._ 117.

_Para se ter a medida de huma coroa, he necessario multiplicar a sua grossura pela circumferencia media._ 119.

IX. _O segmento de circulo he hum espaço terminado por hum arco, e pela sua corda._ 120.

_A medida de todas as figuras circulares se reduz áquella do segmento._ Ibid.

X. _O sector he huma porção de circulo terminada por dous radios, e pelo arco, que elles comprehendem._ 121.

_A sua medida he a do segmento._ Ibid.

XI. _Achar o centro de hum arco de qualquer circulo._ Ibid.

XIII. _Se de qualquer ponto da circumferencia de hum semicirculo se tirarem duas rectas ás extremidades do diametro, se terá hum angulo recto._ 124.

XV. _Todos os angulos, que tem os seus vertices na circumferencia, e que assentão sobre o mesmo arco, são iguaes, e tem por medida commua a metade do arco, em que se assentão._ 128.

XVIII. _A tangente ao circulo he huma linha, que sómente o toca em hum só ponto._ 131.

_O angulo do segmento he aquelle, que he feito pela corda, e pela tangente._ 132.

_Tem por medida a metade do arco do segmento._ Ibid.

XIX. _A tangente he perpendicular ao diametro, que passa pelo ponto, em que ella toca na circumferencia._ 133.

XXI. _Que cousa seja hum segmento capaz de hum angulo dado._ 135.

_Maneira de fazer hum segmento capaz de hum angulo dado._ Ibid.

XXII. _Achar a distancia de hum lugar a outros tres, dos quaes se sabem as posições._ 136.

XXIII. _Se duas cordas se cortarem em hum circulo, o rectangulo das partes de huma he igual ao rectangulo das partes da outra._ 140.

XXIV. _O quadrado de huma perpendicular qualquer ao diametro de hum circulo, he igual ao rectangulo das duas partes do diametro._ Ib.

XXV. _Reduzir hum rectangulo a hum quadrado._ 141.

XXVI. _Que cousa seja huma media proporcional entre duas linhas rectas._ 142.

_Maneira de a achar._ Ibid.

XXVII. _Outro modo._ 143.

XXVIII. _Reduzir huma figura rectilinea a hum quadrado._ 144.

XXX. _Fazer hum quadrado, que seja para outro em razão dada._ 145.

XXXI. _Fazer hum polygono, que esteja em razão dada com outro polygono semelhante._ 146.

XXXII. _Fazer hum circulo, que seja para outro circulo em razão dada._ 147.

XXXIII. _Se de hum ponto tomado fóra do circulo se tiram duas linhas, que o atravessem, os rectangulos destas duas rectas feitos pelas suas partes exteriores, serão iguaes._ Ibid.

XXXIV. _O quadrado da tangente he igual ao rectangulo da secante pela sua parte exterior._ 149.

XXXV. _Tirar huma tangente ao circulo de hum ponto dado fóra delle._ Ibid.

PARTE QUARTA

Da maneira de medir os sólidos, e as suas superficies.

I. _O cubo he hum sólido terminado por seis quadrados. Esta he a medida commua dos sólidos._ 153.

II. _O parallelepipedo he hum sólido terminado por seis rectangulos._ 154.

_Planos parallelos são aquelles, que conservam sempre entre si a mesma distancia._ Ibid.

III. _Medição do parallelepipedo._ 155.

IV. _Os parallelepipedos são produzidos por hum rectangulo, que se move parallelamente a si mesmo._ 157.

V. _A linha perpendicular a hum plano he aquella, que não pende para alguma parte deste plano._ Ibid.

_O mesmo he de hum plano perpendicular a outro plano._ Ibid.

VI. _A linha, que he perpendicular a hum plano, he perpendicular a todas as linhas deste plano, que partem do ponto, em que esta linha cahe._ 158.

VIII. _Prática simples para levantar, ou abaixar perpendiculares aos planos._ 160.

IX. _Huma linha será perpendicular a hum plano, se ella for perpendicular a duas linhas deste plano, que partem do ponto, em que ella cahe._ Ibid.

X. _Maneira de levantar hum plano perpendicular a outro._ 161.

XI. _Para se pôr hum plano parallelo a outro._ 162.

XII. _Medir a inclinação de hum plano sobre outro._ 163.

XIII. _Medir a inclinação, que huma linha tem, sobre hum plano._ Ibid.

XIV. _Nova maneira de abaixar huma linha perpendicular a hum plano dado._ 164.

XV. _Segunda maneira de levantar huma linha perpendicular a hum plano dado._ 165.

XVI. _O prisma recto he huma figura sólida, que tem por bases dous polygonos iguaes, e as outras faces rectangulares._ Ibid.

XVII. _Formação dos prismas rectos._ 166.

XIX. _Dous prismas, que tem as suas bases iguaes, estam na mesma razão das suas alturas._ Ibid.

XX. _Dous prismas, que tem a mesma altura, estam na mesma razão das suas bases._ 167.

XXI. _A medida do prisma recto he o producto da sua base pela sua altura._ 168.

XXII. _Os prismas obliquos differem dos prismas rectos, em que as faces destes são compostas de rectangulos, e as daquelles de parallelogramos._ 169.

XXIII. _Formação dos prismas obliquos._ Ibid.

XXIV. _Os prismas obliquos são iguaes aos prismas rectos, quando elles tem as mesmas bases, e as mesmas alturas._ 171.

XXV. _O mesmo he dos parallelepipedos obliquos, a respeito dos parallelepipedos rectos._ 172.

XXXII. _Em que consiste a semelhança de duas pyramides._ 178.

XXXVII. _As pyramides, que tem a mesma base, e a mesma altura, são iguaes._ 182.

XXXVIII. _Duas pyramides são tambem iguaes, se tendo a mesma altura, as suas bases, sem que sejam polygonos semelhantes, são iguaes em superficie._ 182.

XXXIX. _As pyramides, que tem a mesma altura, estam entre si como as suas bases._ 184.

XLII. _A solidez de qualquer pyramide he o producto da sua base pelo terço da sua altura._ 190.

XLIII. _A pyramide he o terço do prisma, que tem a mesma base, e a mesma altura._ Ibid.

XLV. _O cylindro he hum sólido terminado por duas bases oppostas, e parallelas, que são circulos iguaes, e por hum plano curvado á roda das suas circumferencias._ 191.

_Distinguem-se em cylindro recto, e em cylindro obliquo._ 192.

XLVI. _Formação do cylindro._ Ibid.

XLVII. _A superficie curva de hum cylindro recto he igual a hum rectangulo, que tem a mesma altura, e a sua base igual á circumferencia._ 194.

XLIX. _Os cylindros, que tem a mesma base, e a mesma altura, são iguaes em solidez._ 195.

L. _A medida de qualquer cylindro he o producto da sua base pela sua altura._ 196.

LI. _A pyramide cónica he hum sólido, que tem por base hum circulo._ Ibid.

LII. _Distinguem-se em pyramide cónica recta, e em pyramide cónica obliqua._ 196.

LIII. _Mede-se a superficie da pyramide cónica recta, multiplicando a metade do seu lado pela circumferencia da sua base._ 198.

LIV. _A superficie curva de huma pyramide cónica he hum sector de circulo._ Ibid.

LVI. _As pyramides cónicas, que tem mesma base, e a mesma altura, são iguaes._ 199.

LVII. _A medida dellas he o producto da sua base pelo terço da sua altura._ Ibid.

LIX. _Maneira de medir a superficie de huma pyramide cónica troncada._ 201.

LX. _A esfera he hum corpo, cuja superficie tem todos os seus pontos igualmente distantes do seu centro._ 202.

LXV. _A superficie da esfera tem por medida o producto do seu diametro pela circumferencia do seu circulo maximo._ 210.

LXVI. _Que cousa seja hum segmento de esfera._ 211.

_Como se mede a sua superficie._ Ibid.

LXVII. _A superficie da esfera he igual á do cylindro circumscripto._ 212.

LXVIII. _As porções cortadas do cylindro, e da esfera tem a mesma superficie._ Ibid.

LXIX. _A superficie da esfera he igual áquella do seu circulo maximo quatro vezes._ 213.

LXX. _A solidez da esfera he o producto do terço do seu radio por quatro tantos da área do circulo maximo._ 214.

LXXI. _A solidez da esfera he os dous terços da do cylindro circumscripto._ Ibid.

LXXII. _Medida da solidez de hum segmento de esfera._ 215.

LXXIII. _Em que consiste a semelhança de dous corpos terminados por planos._ 216.

LXXIV. _Condições, que determinam a semelhança de dous cylindros rectos._ 217.

LXXV. _A de dous cylindros obliquos._ Ibid.

LXXVI. _A das pyramides cónicas._ Ibid.

LXXVII. _A de duas pyramides cónicas troncadas._ 218.

LXXVIII. _As esferas, os cubos, e todas as figuras, que não dependem senão de huma só linha, são todas semelhantes._ Ibid.

LXXIX. _Em geral, os sólidos semelhantes não differem senão pelos petipés por onde são construidos._ 219.

LXXX. _As superficies dos sólidos semelhantes são entre si, como os quadrados dos seus lados homologos._ Ibid.

LXXXI. _As superficies das esferas são entre si, como os quadrados dos radios dellas._ 222.

LXXXIII. _Os sólidos semelhantes são entre si, como os cubos dos seus lados homologos._ 223.

LXXXIV. _As esferas são entre si, como os cubos dos radios dellas._ 225.

FIM DO INDICE.

_AVISO_

_Para se situarem as Estampas nos seus respectivos lugares._

PARTE PRIMEIRA.

As Estampas I. II. III. IV. V. VI. entre a pag. 76. e 77.

PARTE SEGUNDA.

As Estampas VII. entre a pag. 108. e 109.

PARTE TERCEIRA.

As Estampas VIII. IX. X. entre a pag. 150. e 151.

PARTE QUARTA.

As Estampas XI. XII. XIII. XIV. depois da pag. 225.

NOTAS DE TRANSCRIÇÃO

- A falta de consistência entre a ortografia foi mantida de acordo com a versão impressa. Erros tipográficos foram devidamente corrigidos.

- Um índice geral foi criado para esta edição.