[Sidenote: As superficies dos solidos semelhantes são entre si, como os quadrados dos seus lados homologos.]

[Sidenote: EST. XIV.]

A primeira proposição ensina, que as superficies de dous corpos semelhantes são entre si como os quadrados dos seus lados homologos; que ha, por exemplo, a mesma razão entre as superficies das duas pyramides semelhantes _z_, e Z, (Fig. 5. e 6.) como entre os quadrados _a b c d_, ABCD, feitos sobre os lados _a b_, AB, que se correspondem nestas duas pyramides.

Para se demonstrar esta proposição, não se necessita mais do que dos discursos, que fizemos na I. Parte Art. XLIII. e XLIV. isto he, que basta sómente considerar que se P he o petipé da pyramide Z, e _p_ o petipé da pyramide semelhante _z_, as linhas, de que se usar para se medir a superficie Z, e a do quadrado ABCD, terão o mesmo numero de P, como haverá de partes _p_ naquellas, de que se usar para medir a superficie _z_, e a do quadrado _a b c d_.

[Sidenote: EST. XIV.]

Porque disto se segue, que o producto das linhas, que entrarem na medida de Z, e de ABCD, dará o mesmo numero de quadrados X feitos por P, como o producto das linhas, de que se usar para medir _z_; e _a b c d_, dará de quadrados _x_ feitos por _p_. Isto he, que os numeros, que exprimirem a proporção da superficie da pyramide Z para o quadrado ABCD, serão os mesmos que os que exprimiráõ a proporção da superficie _z_ para o quadrado _a b c d_.

O mesmo discurso se faria na comparação de todos os mais corpos semelhantes, seja que estes corpos fossem terminados por planos, ou que elles fossem terminados por superficies curvas; porque as linhas, que servissem para se medirem as superficies de todos estes corpos, teriam sempre o mesmo numero de partes dos seus petipés, e por consequencia os productos destas linhas conterião hum mesmo numero de vezes os quadrados destas mesmas partes.

[Sidenote: EST. XIV.]

E se as linhas necessarias para se medirem as superficies dos corpos semelhantes fossem incommensuraveis, he evidente que a demonstração sempre subsistiria, com tanto que nisto se usasse dos principios, de que nos servimos (Part. II. Art. XXVIII.) para comparar as figuras semelhantes, cujos lados erão incommensuraveis.