[Sidenote: EST. IX.]

Depois de termos visto que em hum mesmo segmento os angulos AEB, (Fig. 6.) AFB, AHB, suppostos na circumferencia, são todos iguaes, tentamo-nos a examinar em que se torna o angulo AQB, quando o seu vertice Q se confunde com o ponto B, extremidade da base AB. Este angulo desvanecer-se-hia então? Porém não parece possivel, que sem elle se ir fechando por gráos, viesse de repente a extinguir-se. Não se percebe qual seja o ponto, depois do qual este angulo cessasse de existir; como se virá pois a achar a sua medida? He esta huma difficuldade, que não se póde resolver, sem que se recorra á Geometria dos infinitos, da qual todos os homens tem ao menos huma imperfeita idéa, a qual basta sómente aclarar.

Observemos pois, que quando o ponto E se avizinha para B, mudando-se em F, H, Q, &c. a recta EB se diminue continuadamente; e que o angulo EBA, que ella faz com a recta AB, se abre cada vez mais. Porém por mais curta que venha a ser a linha QB, o angulo QBA não deixará com tudo de ser hum angulo, pois que para o fazermos sensivel, bastará produzir a linha diminuta QB para R. Mas deve tambem ser assim, quando a linha QB, á força de se diminuir, se reduzir em fim a nada? Em que veio então a parar a sua posição? A linha produzida em que se tornou?

[Sidenote: A tangente ao circulo he a linha, que sómente o toca em hum só ponto.]

He evidente que não he outra cousa senão a recta BS, que toca o circulo em hum só ponto B, sem o encontrar em alguma outra parte, e que por esta razão se chama Tangente.

[Sidenote: EST. IX.]

[Sidenote: O angulo no segmento he aquelle, que he feito pela corda, e pela tangente.

Tem por medida a metade do arco do segmento.]

Demais. Claro está, que em quanto a linha EB se diminue continuadamente até em fim se extinguir, a recta AE, que successivamente se muda em AF, AH, AQ, &c. se avizinha sempre para AB, e que por fim se confunde com ella. Logo o angulo na circumferencia AEB, depois de se ter mudado em AFB, AHB, AQB, vem a ser em ultimo lugar o angulo ABS, feito pela corda AB, e pela tangente BS; e este angulo, a que chamam angulo no segmento, deve conservar sempre a propriedade de ter por medida a metade do arco AGB.

Ainda que esta demonstração seja talvez hum pouco abstracta para os Principiantes, entendi ser a proposito de a dar, porque será utilissimo áquelles, que quizerem adiantar os seus estudos até á Geometria dos infinitos, o terem-se costumado anticipadamente a semelhantes considerações.

[Sidenote: EST. IX.]

Se, não obstante, os Principiantes acharem que esta demonstração he assima das suas forças, he facil de os pôr em estado de descubrirem outra, em lhes explicando a principal propriedade das Tangentes.